Introdução

“E se o craque se machucar no aquecimento? E se o sorteio nos colocar entre gigantes como Alemanha e França? E se a final for decidida nos pênaltis? E se a confiança subir depois de uma vitória improvável?”

Muitos “e se”, né? ficaria louco só de imaginar, porém a ferramenta certa para explorar isso existe e atende por um nome: Monte Carlo.

A vida costuma reagir a pequenos empurrões com consequências desproporcionais. A teoria do caos descreve essa sensibilidade às condições iniciais. Um detalhe no começo pode alterar o percurso inteiro lá na frente. Em vez de perseguir uma fórmula complexa e extraordinária que pretenda domar essa instabilidade, abrimos espaço para muitos mundos possíveis e perguntamos o que se repete neles.

Com o método do Monte Carlo, criamos esses mundos em série, sorteamos resultados muitas vezes e observamos como as frequências se comportam. A repetição transforma o acaso em informação. Quando o problema tem incerteza em cada esquina e várias rotas possíveis, a simulação oferece o que precisamos, um mapa. Ela exige escolhas explícitas sobre como o mundo funciona em pequenas etapas, como a chance de um evento acontecer, e devolve um retrato estatístico do que é provável.

Quanto mais rodadas, mais estável fica a estimativa. Inclusive exploro essa ideia em um post no Medium, A Ciência da Sorte: simulando a Lei dos Grandes Números no R , no qual simulo o lançamento de três moedas e mostro como as frequências se aproximam das probabilidades à medida que o número de tentativas cresce. O valor do método, portanto, está na franqueza das hipóteses e na possibilidade de testar cenários sem prometer certezas que a realidade não dá.

Voltando ao experimento do nosso estudo, ligamos a simulação a um caso real do futebol masculino. Neste caso, a seleção brasileira, que encerrou as Eliminatórias da Copa de 2026 com 28 pontos em 54 possíveis, com um aproveitamento de 51,9% e sendo a pior campanha já registrada no formato por pontos corridos. O número fica abaixo do ciclo de 2002, quando a equipe somou 30 pontos, o que corresponde a 55,6%, como mostra a reportagem Seleção brasileira encerra Eliminatórias com a pior campanha da história de Cassucci (2025). A pergunta que orienta o estudo é simples e incômoda.

Esse aproveitamento de 51,9% é realmente ruim para fins de projeção ou quão desfavorável ele se torna quando o usamos como referência para estimar a chance de título em um torneio decidido em oito jogos?

Parâmetros do experimento e hipóteses do modelo

Tomamos $ p $ como a probabilidade de o Brasil vencer um jogo. Para este estudo usamos $ p = 0,519 $ porque a equipe somou 28 pontos em 54 possíveis nas Eliminatórias, o que dá uma taxa de 28/54 aproximadamente. Essa taxa mistura vitórias e empates, mas a adotamos como um proxy simples para a chance de vitória por jogo, o que de certa forma mantém o modelo enxuto.

Definimos $ m $ como o número de partidas necessárias até o título. A partir disso, $ m = 8 $ corresponde a três jogos na fase de grupos e cinco no mata-mata, em conformidade com o novo formato que adiciona uma fase extra, o Round of 32. Além disso, exigimos 8 vitórias somando fase de grupos e mata-mata, o que é um forte simplificador (um torneio conta também com empates e classificação por saldo), mas que facilitará nossa vida na construção do modelo.

Assumimos os jogos, assim como as copas, como independentes e com a mesma probabilidade $ p $. Mais uma vez, opta-se por simplicidade. Na vida real $ p $ não é constante entre seleções/fases, e Copas não são totalmente independentes (explicarei isso na última seção).

Do aproveitamento à probabilidade de título

Na Equação (1) $\theta $ representa a probabilidade de título em um único torneio, pois o time precisa vencer $ m $ jogos seguidos.

$$ \theta = p{^m} \tag{1} $$

Na Equação (2) a variável aleatória $ X $ indica título em uma Copa. O termo $ P(X = x) $ interpreta dois casos em uma única escrita. Quando $ x = 1 $ a probabilidade é $ \theta $ e representa a campanha perfeita. Quando $ x = 0 $ a probabilidade é $ 1 - \theta $ e representa qualquer resultado que não leva ao título.

$$ P(X = x)=\theta^{x}(1-\theta)^{1-x} \tag{2} $$

Na Equação (3) somamos $ N $ indicadores $ X_i $ e obtemos $ S $ que conta quantos títulos ocorreram em $ N $ Copas simuladas. A expressão $ P(S = s) $ descreve a chance de observar exatamente $ s $ títulos. O coeficiente $ \binom{N}{s} $ contabiliza as escolhas de quais Copas terminaram em título. O fator $ \theta^s $ corresponde aos $ s $ torneios vencidos e o fator $ (1-\theta)^{N-s} $ corresponde aos $ N - s $ torneios não vencidos, sob a hipótese de independência entre as edições.

$$ P(S = s) = \binom{N}{s}\theta^{s}(1-\theta)^{N-s}, \qquad s = 0,1,\ldots,N \tag{3} $$

Se a nossa variável aleatória $ S $ (isto porque depende do sorteio dos $ X_i $) tem distribuição binomial com parâmetros $ N $ e $ \theta $ como na Equação (3), então as Equações (4) e (5) dão o valor esperado e a variância do número de títulos ao longo das $ N $ simulações.

$$ E[S] = N\theta \tag{4} $$

$$ \mathrm{Var}(S) = N\theta (1 - \theta) \tag{5} $$

A proporção observada, portanto, é um estimador não viesado de $ \theta $ como nas Equações (6) e (7).

$$ \hat{\theta} = \frac{S}{N} \tag{6} $$

$$ \mathrm{Var}(\hat{\theta}) = \frac{\theta (1 - \theta)}{N} \tag{7} $$

A variável aleatória $ K $ conta o número de Copas até o primeiro título. A Equação (8) representa uma sequência com $ k - 1 $ fracassos seguida de um sucesso. Cada fracasso contribui com o fator $ 1 - \theta $ e o título encerra com $ \theta $. O suporte começa em $ k = 1 $ porque se inclui a própria edição em que o título ocorre. Trata-se da forma clássica da distribuição geométrica quando se mede o total de tentativas até o primeiro sucesso.

$$ P(K = k) = (1 - \theta)^{k-1}\theta, \qquad k = 1,2,\ldots \tag{8} $$ Neste caso, $ K $ segue distribuição geométrica com parâmetro fixo $ \theta $, nisto, as Equações (9) e (10) mostram a espera média e a variância do tempo até um título, ambas determinadas por $ \theta $ que por sua vez depende de $ p $ e $ m $, ambos fixados.

$$ E[K] = \frac{1}{\theta} \tag{9} $$ $$ \mathrm{Var}(K) = \frac{1 - \theta}{\theta^2} \tag{10} $$

Da teoria ao código em Python

Começamos importando o NumPy, que fornece o motor de números aleatórios usado para simular os ensaios de Bernoulli definidos no modelo.

import numpy as np

Criamos rng = np.random.default_rng() para gerar amostras independentes coerentes com a Equação (2), onde cada tentativa representa um jogo com probabilidade $ p $ de sucesso. Definimos n_simulacoes como o número de torneios hipotéticos, que corresponde ao $ N $ nas Equações (3) a (7). Em seguida fixamos n_jogos_copa e prob_vitoria, que é, respectivamente, o $ m $ e $ p $ do nosso modelo.

rng = np.random.default_rng(202509)  # reprodutibilidade

n_simulacoes = 100000
n_jogos_copa = 8
prob_vitoria = 0.519  # prob. de vencer cada jogo

Esses três parâmetros conectam o código às equações do modelo, pois determinam $ \theta = p{^m} $ e, quando amostrarmos os resultados, permitirão contar títulos por torneio e ao longo das $ N $ simulações como em $ X $ e $ S $.

Observação breve sobre repetibilidade. Se desejarmos reproduzir exatamente os mesmos números em execuções diferentes, convém passar uma semente fixa, por exemplo np.random.default_rng(202509). A escolha do número fica a critério do leitor.

Simulando as Copas e identificando títulos

No passo da simulação, geramos uma matriz chamada resultados com $ N $ linhas e $ m $ colunas. Cada entrada vale 0 para derrota ou 1 para vitória e segue um ensaio de Bernoulli com parâmetro $ p $, no nível da partida. O tamanho da matriz reproduz $ N $ torneios de $ m $ jogos.

# Matriz (n_simulacoes x n_jogos_copa) com 0/1 para derrota/vitória
resultados = rng.binomial(1, prob_vitoria, size=(n_simulacoes, n_jogos_copa))

print(resultados)

## [[0 0 1 ... 1 0 0]
##  [1 0 0 ... 1 0 0]
##  [1 0 1 ... 1 1 1]
##  ...
##  [1 0 0 ... 1 1 0]
##  [1 1 0 ... 0 1 0]
##  [0 1 0 ... 0 0 0]]

Em seguida somamos cada linha e comparamos ao número de jogos $ m $. Quando a soma de uma linha é igual a $ m $, aquele torneio registra vitórias em todos os jogos e portanto título. O vetor lógico simulacoes marca essas ocorrências, que correspondem a $ X = 1 $ e têm probabilidade $ \theta = p{^m} $ conforme a Equação (1). A contagem total de verdadeiros neste vetor forma $ S $, a variável binomial da Equação (3).

# True se venceu todos os 8 jogos (título)
simulacoes = (resultados.sum(axis=1) == n_jogos_copa)

print(simulacoes)

## [False False False ... False False False]

Por fim obtemos os índices das dez primeiras Copas com título por meio de ids_titulos.

# IDs (1-based) das primeiras 10 Copas vencidas
ids_titulos = (np.flatnonzero(simulacoes)[:10] + 1)

print(ids_titulos)

## [  39  158  199  584  950 1110 1314 1867 1889 2058]

A soma de simulacoes produz titulos, que corresponde a $ S $ na Equação (3) e conta quantos torneios terminaram em título no conjunto de $ N $ simulações. A média de simulacoes produz prob_titulo, que é $ \hat{\theta} = S / N $ (Eq. 6) e estima a probabilidade de título $ \theta $. Ou seja, em uma linha obtemos a contagem efetiva e a fração observada.

titulos = simulacoes.sum()

print(titulos)

## 514

prob_titulo = simulacoes.mean()

print(prob_titulo)

## 0.00514

Como ler os números da simulação

Oras, se a chance de título em uma Copa é $ \theta = p{^m} $ e o time precisa vencer oito jogos seguidos, adotemos $ \theta = 0,519^8 $ (lembre-se da taxa de 51,9% de aproveitamento da seleção). Com essa suposição, obtemos $ \theta \approx 0,00526 $, algo próximo de 0,5% (observe o output do nosso objeto prob_titulo). Trata-se de um evento raro dentro do nosso modelo simplificado.

Para medir a espera até um título, usamos a média de $ K $. Vale $ E[K] = 1 / \theta \approx 190,1$. Em outras palavras, seriam em torno de 190 Copas até o próximo título quando mantidas as hipóteses de probabilidade constante por jogo e independência entre partidas.

A dispersão dessa espera é grande. A variância resulta em $ \mathrm{Var}(K) $, que nos dá aproximadamente 35.953,2 e o desvio padrão (A raiz quadrada de $ \mathrm{Var}(K) $) fica perto de 189,6. Isto nos diz que algumas sequências trariam um título cedo enquanto outras esticariam a fila por muito tempo. Reforça-se ainda mais a ideia de eventos raros mesmo quando a média sugere um horizonte estável.

Trazendo para a linguagem de programação, obtemos a probabilidade estimada de título pela escala desejada. Em titulos_por_100, traduzimos $ \hat{\theta} $ para a linguagem de expectativa em 100 edições. É a mesma ideia da Equação (4) que dá $ E[S] = N\theta $ com $ N = 100 $. No resultado aparece aproximadamente 0,514, o que diz que, sob essas hipóteses, esperaríamos cerca de meio título a cada 100 Copas.

titulos_por_100  = 100  * prob_titulo

print(titulos_por_100)

## 0.514

A mesma conversão pode ser feita para uma escala maior. Tomamos $ N = 1000 $ e obtemos por volta de 5,14 títulos esperados em mil edições.

titulos_por_1000 = 1000 * prob_titulo

print(titulos_por_1000)

## 5.14

Também é possível medir o tempo de espera até um título (bem como já fizemos isso anteriormente). Em copas_por_titulo = 1 / prob_titulo invertemos a probabilidade estimada e recuperamos a média da distribuição geométrica usada na seção anterior. O valor ficou perto de 194,6 Copas por título, em linha com a interpretação de $ E[K] = 1 / \theta $ da Equação (9) que deriva da distribuição geométrica da Equação (8) onde $ K $ conta quantas Copas ocorrem até o primeiro título.

copas_por_titulo = (
  1 / prob_titulo) if prob_titulo > 0 else float('inf')

print(copas_por_titulo)

## 194.5525291828794

Os três números contam a mesma história por ângulos diferentes. A chance por Copa é pequena, logo a contagem esperada em 100 edições fica abaixo de um título e a espera média se estende por cerca de dois séculos de torneios no cenário simplificado que adotamos.

Considerações finais

A pergunta do início pede uma resposta, é claro. Com o desempenho de 51,9% nas Eliminatórias e sob as hipóteses do nosso modelo, a chance de título por Copa fica em uma fração de um por cento. Nas simulações, isso transpõe-se de forma aproximada em algo como menos de um título a cada cem edições, cerca de 5 a cada mil, e uma espera média próxima de, aproximadamente, 195 Copas para um novo troféu. Para o objetivo de vencer um torneio de oito jogos, esse aproveitamento pesa contra.

Então este achado irá se concretizar?

E a resposta é óbvia: NÃO!

Para fins de comparação, testei um cenário alternativo no formato clássico de sete jogos, usando a taxa de 55,6% das Eliminatórias para 2002. A simulação estimou 1,66% de chance de título, algo próximo de dois títulos a cada 100 Copas e uma razão perto de 60 Copas por título. Ainda assim, o Brasil foi campeão em 2002. Em ciclos seguintes, mesmo com aproveitamentos mais altos nas Eliminatórias (63% em 2006 e 2010, 75,9% em 2018, 88,2% em 2022), o troféu não veio.

O contraponto entre esses números nos deixa uma lição (sobre o papel do acaso, especificamente). O nosso resultado não serve como previsão do que vai acontecer. Ele é uma estimativa condicional, ancorada em hipóteses que varrem o terreno para raciocinar mais claramente sobre determinada situação.

Na prática, $ p $ não fica fixo. A chance contra um adversário fraco na fase de grupos costuma ser maior que contra uma potência na final. O aproveitamento nas Eliminatórias tampouco traduz, sozinho, o desempenho esperado na Copa. O torneio é curto, muda o nível dos rivais, muda-se o esboço do chaveamento e detalhes contam.

Há ainda um fato curioso que conversa com essa sensibilidade. Com o novo formato, que adiciona uma partida, a probabilidade encolhe de forma evidente. No arranjo clássico de sete jogos ela rondava algo perto de um por cento. Com oito jogos cai para algo próximo de meio por cento. Um “pequeno” ajuste na organização do torneio e o trajeto muda inteiro. É a intuição da teoria do caos em ação. Um empurrão quase imperceptível no começo e o desfecho assume outros moldes.

Tomado como régua, o exercício mostra que um aproveitamento ao redor de metade dos pontos quase não sustenta uma campanha perfeita. Tomado como reflexão, ele lembra que o futebol vive de picos, contextos e desvios que uma média não captura. Se a taxa recente parece menos aceitável, então a pergunta que fica é outra. O que precisa acontecer dentro de campo (ou mesmo fora dele) para que a probabilidade por jogo mude e a história volte a sorrir?

Eaí, o que você acha? Concorda, discorda ou tem algo a acrescentar? Comente abaixo e reaja ao post!

Referências

CASSUCCI, Bruno. Seleção brasileira encerra Eliminatórias com a pior campanha da história. ge. São Paulo, 9 set. 2025. Atualizado em 10 set. 2025. Disponível em: https://ge.globo.com/futebol/selecao-brasileira/noticia/2025/09/09/selecao-brasileira-encerra-eliminatorias-com-a-pior-campanha-da-historia.ghtml . Acesso em: 15 set. 2025.